Réussir Le Concours INSPEI

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Base

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Valeur propre

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Vecteur propre

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Polynôme caractéristique

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Matrice diagonalisable

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3. Méthodes types corrigées

Exemple 1 - Produit matriciel

Soient A = [[1, 2], [0, 3]] et B = [[2, 1], [1, 0]].

• La première ligne de AB est:

1×2 + 2×1 = 4; 1×1 + 2×0 = 1.

• La deuxième ligne est:

0×2 + 3×1 = 3; 0×1 + 3×0 = 0.

• Donc AB = [[4, 1], [3, 0]].

À vous: calculer BA.

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Exemple 2 - Valeurs propres

Pour A = [[2, 1], [0, 3]], le polynôme caractéristique vaut:

• det(A - λI) = det([[2-λ, 1], [0, 3-λ]]).

• Donc det(A - λI) = (2-λ)(3-λ).

• Les valeurs propres sont 2 et 3.

• Pour λ = 2, résoudre (A - 2I)X = 0 donne un vecteur propre de la forme (1, 0).

• Pour λ = 3, un vecteur propre est (1, 1).

À vous: déterminer les valeurs propres de [[4, 1], [0, 4]].

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Exemple 3 - Diagonalisation

Une matrice 2 × 2 possédant deux valeurs propres distinctes possède deux vecteurs propres indépendants.

• Former P avec ces vecteurs propres en colonnes.

• Former D avec les valeurs propres correspondantes sur la diagonale.

• Vérifier A = PDP^-1.

• Alors A^k = PD^kP^-1, ce qui simplifie les puissances.

À vous: expliquer pourquoi une matrice ayant une seule valeur propre peut tout de même être diagonalisable.

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4. Entraînement concours

• (Facile) Calculer le déterminant de [[3, 1], [2, 4]].

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• (Facile) Résoudre 2x + y = 5 et x - y = 1.

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• (Moyen) Déterminer le rang de [[1, 2], [2, 4]].

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• (Moyen) Déterminer les valeurs propres de [[1, 0], [0, 5]].

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• (Difficile) La matrice [[2, 1], [0, 2]] est-elle diagonalisable? Justifier.

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Corrigé

• 10.

• x = 2, y = 1.

• Rang 1.

• 1 et 5.

• Non: l’espace propre associé à 2 est de dimension 1, alors que la matrice est d’ordre 2.

5. Erreurs fréquentes et exigences du correcteur

• Confondre AB et BA: le produit matriciel n’est généralement pas commutatif. Respecter l’ordre des facteurs.

• Oublier le vecteur nul: un vecteur propre doit être non nul.

• **Conclure trop vite à

la diagonalisation:** il faut vérifier que le nombre de vecteurs propres indépendants est égal à l’ordre de la matrice.

• Mélanger valeur propre et vecteur propre: λ est un nombre; X est un vecteur non nul vérifiant AX = λX.

• Négliger la rédaction: donner le polynôme caractéristique, les espaces propres et la dimension obtenue.

Regards du correcteur:

• Justifier chaque égalité par un calcul lisible.

• Pour une diagonalisation, préciser clairement P, D et la relation A = PDP^-1.

• Gérer le temps: calculer d’abord les déterminants et systèmes directs, puis traiter la diagonalisation.

6. Fiche express avant l’épreuve

Règles à retenir:

• (AB)C = A(BC), mais AB ≠ BA en général.

• Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

• AX = λX équivaut à (A - λI)X = 0.

• Les valeurs propres sont les racines de det(A - λI) = 0.

• Une matrice d’ordre n est diagonalisable si elle possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

• Si A = PDP^-1, alors A^k = PD^kP^-1.

Mémo: « Déterminant, Espaces propres, Base »: calculer le déterminant, trouver les espaces propres, construire une base de vecteurs propres.

Les indispensables:

• Savoir multiplier deux matrices en respectant les dimensions.

• Résoudre un système associé à (A - λI)X = 0.

• Vérifier l’indépendance des vecteurs propres.

• Distinguer clairement une matrice diagonale d’une matrice diagonalisable.

• Rédiger la conclusion avec les dimensions et les relations matricielles.

Vérification personnelle:

• Je peux calculer un produit matriciel sans inverser l’ordre des facteurs. [ ] 1 [ ] 2 [ ] 3 [ ] 4 [ ] 5

• Je peux déterminer le déterminant d’une matrice 2 × 2. [ ] 1 [ ] 2 [ ] 3 [ ] 4 [ ] 5

• Je peux trouver les valeurs propres d’une matrice. [ ] 1 [ ] 2 [ ] 3 [ ] 4 [ ] 5

• Je peux déterminer un espace propre. [ ] 1 [ ] 2 [ ] 3 [ ] 4 [ ] 5

• Je peux décider si une matrice est diagonalisable et le justifier. [ ] 1 [ ] 2 [ ] 3

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