Réussir Le Concours INSPEI

1. Les bases indispensables pour le concoursCe chapitre porte sur le calcul matriciel, les espaces vectoriels, les valeurs propres et la diagonalisation. Ces notions sont directement mobilisées dans les systèmes linéaires et les problèmes de modélisation.

À connaître absolument :Addition et multiplication des matrices.

Matrice identité, matrice inverse et déterminant.

Résolution d’un système par pivot de Gauss.

Sous-espace vectoriel, famille libre, génératrice et base.

Dimension et rang.

Valeur propre et vecteur propre.

Polynôme caractéristique.

Diagonalisation d’une matrice.

Avant de continuer :Sais-tu expliquer pourquoi une matrice ayant n vecteurs propres linéairement indépendants est diagonalisable ?

2. Le vocabulaire à maîtriserMatrice inversible - Matrice A telle qu’il existe A^-1 avec AA^-1 = A^-1A = I.

Rang - Dimension de l’espace engendré par les colonnes, ou par les lignes, d’une matrice.

Base - Famille libre et génératrice d’un espace vectoriel.

Valeur propre - Nombre λ tel qu’il existe un vecteur non nul X vérifiant AX = λX.

Vecteur propre - Vecteur non nul associé à une valeur propre.

Polynôme caractéristique - Polynôme det(A - λI), dont les racines sont les valeurs propres.

Matrice diagonalisable - Matrice semblable à une matrice diagonale.

Rappel actifMatrice inversible__________

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Rang__________

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Base__________

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Valeur propre__________

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Vecteur propre__________

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Polynôme caractéristique__________

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Matrice diagonalisable__________

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3. Méthodes types corrigéesExemple 1 - Produit matricielSoient A = [[1, 2], [0, 3]] et B = [[2, 1], [1, 0]].

La première ligne de AB est :

1×2 + 2×1 = 4 ; 1×1 + 2×0 = 1.

La deuxième ligne est :

0×2 + 3×1 = 3 ; 0×1 + 3×0 = 0.

Donc AB = [[4, 1], [3, 0]].

À vous : calculer BA.

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Exemple 2 - Valeurs propresPour A = [[2, 1], [0, 3]], le polynôme caractéristique vaut :

det(A - λI) = det([[2-λ, 1], [0, 3-λ]]).

Donc det(A - λI) = (2-λ)(3-λ).

Les valeurs propres sont 2 et 3.

Pour λ = 2, résoudre (A - 2I)X = 0 donne un vecteur propre de la forme (1, 0).

Pour λ = 3, un vecteur propre est (1, 1).

À vous : déterminer les valeurs propres de [[4, 1], [0, 4]].

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Exemple 3 - DiagonalisationUne matrice 2 × 2 possédant deux valeurs propres distinctes possède deux vecteurs propres indépendants.

Former P avec ces vecteurs propres en colonnes.

Former D avec les valeurs propres correspondantes sur la diagonale.

Vérifier A = PDP^-1.

Alors A^k = PD^kP^-1, ce qui simplifie les puissances.

À vous : expliquer pourquoi une matrice ayant une seule valeur propre peut tout de même être diagonalisable.

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4. Entraînement concours(Facile) Calculer le déterminant de [[3, 1], [2, 4]].

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(Facile) Résoudre 2x + y = 5 et x - y = 1.

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(Moyen) Déterminer le rang de [[1, 2], [2, 4]].

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(Moyen) Déterminer les valeurs propres de [[1, 0], [0, 5]].

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(Difficile) La matrice [[2, 1], [0, 2]] est-elle diagonalisable ? Justifier.

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Corrigé10.

x = 2, y = 1.

Rang 1.

1 et 5.

Non : l’espace propre associé à 2 est de dimension 1, alors que la matrice est d’ordre 2.

5....