فهم التحليل الإحصائي

• عدد الطلاب في فصل: هذا عدّ، إذن المتغير منقطع. - عدد مرات ظهور صورة عند رمي قطعة نقود: أيضًا عدّ لنتائج محددة، إذن منقطع. - مجموع النقط على وجهي حجر نرد: ناتج عدّ/حصيلة محددة من رميات، إذن منقطع.

أما المستمر:

• طول شخص (يمكن أن يكون 170.1 سم، 170.15 سم، وهكذا): بين 170.1 و170.15 توجد قيم أخرى ممكنة، إذن مستمر. - وزن حقيبة: قياس يمكن أن يأخذ قيمًا كثيرة داخل نطاق. - درجة الحرارة: تتغير تدريجيًا وتقبل قيماً كثيرة.

3) لماذا يهمنا النوع؟ لأنه يحدد “شكل التوزيع” التوزيع الاحتمالي هو “الخريطة” التي تخبرك بكل القيم الممكنة لظاهرة ما، وما احتمال حدوث كل قيمة. لكن الخريطة تختلف حسب النوع:

• المنقطع: قيم منفصلة، فيكون التوزيع مرتبًا على نقاط (0، 1، 2، 3...). - المستمر: قيم ضمن نطاق، فيكون التوزيع مرتبطًا بفكرة “الاحتمال داخل مجال”.

4) ربط النوع بتوزيع منطقي: مثال التوزيع الثنائي عندما يكون لدينا تجربة لها نتيجتان فقط في كل محاولة (نجاح/فشل)، مع عدد محاولات ثابت واحتمال نجاح ثابت ومحاولات مستقلة-هنا يظهر التوزيع الثنائي (Binomial Distribution).

التوزيع الثنائي (Binomial Distribution) - توزيع يصف عدد مرات النجاح في n محاولة مستقلة، لكل منها نتيجتان فقط واحتمال نجاح ثابت p.

شروط التوزيع الثنائي التي سنتمسك بها لأن اختيار التوزيع ليس “ذوقًا” بل “مطابقة للشروط”: 1. عدد المحاولات ثابت (n). 2. نتيجتان فقط لكل محاولة: نجاح أو فشل. 3. احتمال النجاح ثابت (p). 4. المحاولات مستقلة: نتيجة الرمية الحالية لا تؤثر على التالية.

5) ملاحظة مهمة لتفادي خطأ شائع قد ترى “أرقامًا” وتظن أنها متشابهة. لكن الفرق الحقيقي ليس في كون الرقم كبيرًا أو صغيرًا، بل في: هل الرقم ناتج عن عدّ أم قياس؟ اسأل نفسك: هل يمكن أن يكون الناتج “بين قيمتين”؟ إن نعم، فالاحتمال الكبير أنه مستمر.

تذكّر سريع قبل المتابعة: إذا كان المتغير منقطعًا، غالبًا نبدأ بالتوزيعات المنقطعة مثل التوزيع الثنائي. وإذا كان مستمرًا، سنحتاج توزيعًا مناسبًا لقيم داخل نطاق، وغالبًا يبدأ التفكير بالتوزيع الطبيعي (الجرس) لأنه يظهر كثيرًا في البيانات الطبيعية.

---

مثال تفصيلي: هل نستخدم التوزيع الثنائي أم التوزيع الطبيعي؟

لنأخذ موقفًا واضحًا جدًا: رمي حجر نرد ثم جمع النقط. سنقرر النوع، ثم نقرر التوزيع الاحتمالي الأنسب لجزء “عدد النجاحات” داخل تكرارات.

الخطوة 1: وصف المسألة كناتج إحصائي افترض أننا نرمي حجر نرد عددًا ثابتًا من المرات، ونريد حساب عدد مرات ظهور رقم محدد-مثلاً ظهور “6”. هنا الناتج الذي نعدّه هو: كم مرة ظهر 6؟

الخطوة 2: تحديد نوع المتغير - هل نعدّ عدد مرات؟ نعم. إذن المتغير منقطع لأنه يأخذ قيمًا محددة مثل 0، 1، 2، 3... (لا توجد “1.7 مرة ظهور 6”).

الخطوة 3: فحص شروط التوزيع الثنائي الآن نتحقق من الشروط:

1. عدد المحاولات ثابت (n): نقرر مسبقًا عدد الرميات. 2. نتيجتان فقط لكل محاولة: عند كل رمية لدينا “نجاح” (ظهر 6) أو “فشل” (لم يظهر 6). 3. احتمال النجاح ثابت (p): في حجر نرد متوازن، احتمال ظهور 6 ثابت في كل رمية. 4. المحاولات مستقلة: رمية واحدة لا تؤثر على الأخرى.

بما أن الشروط متحققة، إذن التوزيع المنطقي هو التوزيع الثنائي.

الخطوة 4: ربط الرموز بالمعنى لنرمز: - X: عدد مرات ظهور النجاح (عدد مرات ظهور 6). - n: عدد الرميات. - p: احتمال النجاح في كل رمية. - 1-p: احتمال الفشل في كل رمية.

معلومة مهمة من التوزيع الثنائي: احتمال الحصول على x نجاحًا بالضبط من أصل n محاولة يُحسب وفق صيغة التوزيع الثنائي: P(X = x) = (n اختر x) * p^x * (1-p)^(n-x)

الخطوة 5: حساب مؤشرات موجزة لتوقع القيم (بدون غوص طويل) في التوزيع الثنائي: - التوقع (المتوسط) (mu): mu = n × p - التباين (sigma^2): sigma^2 = n × p × (1-p) - الانحراف المعياري (sigma): sigma = جذر (n × p × (1-p))

هذه المؤشرات تساعدك تفهم “ماذا تتوقع أن يحدث” بدل الاكتفاء بحساب احتمال قيمة واحدة فقط.

الخطوة 6: متى لا نستخدم التوزيع الثنائي؟ لو بدلًا من “عدد مرات ظهور 6” كنا نقيس “طول مؤشر” أو “وزن قطعة” أو “درجة حرارة” على فترات-هنا لن يكون لدينا عدّ لنجاحات/فشل ثابت واحتمال نجاح ثابت بالمعنى الثنائي. في هذه الحالة نحتاج التمييز بين قيم منفصلة وقيم ضمن نطاق. وهذا يقودنا إلى التفكير في التوزيعات المناسبة للمتغير المستمر، وغالبًا يبدأ مسارنا نحو التوزيع الطبيعي.

النتيجة النهائية لهذا المثال: بما أننا نحسب “عدد مرات النجاح” عبر محاولات متكررة بشروط التثبيت (n ثابت، نجاح/فشل فقط، p ثابت، استقلال)، إذن المتغير منقطع والتوزيع المناسب هو التوزيع الثنائي.

---

تمارين تدريبية: قرارات نوع المتغير واختيار التوزيع

السؤال 1 في دراسة جودة مصنع، نسجل عدد القطع المعيبة في كل دفعة. هل المتغير منقطع أم مستمر؟ وما التوزيع الاحتمالي الذي يبدأ به التفكير عادة إذا اعتبرنا لكل قطعة: سليم أو معيب؟

تلميح: ركّز على كلمة “عدد” وعلى وجود نتيجتين فقط “سليم/معيب”.

السؤال 2 نسجل طول طالب بالسنتيمتر مع دقة عشرية (مثل 170.1 و170.15). هل المتغير منقطع أم مستمر؟ ولماذا؟

تلميح: اسأل: هل بين 170.1 و170.15 قيم ممكنة أخرى؟

السؤال 3 نريد معرفة احتمال أن من بين n رميات لقطعة نقود، يحدث x مرات نجاح (مثل ظهور صورة). ما نوع المتغير؟ وما التوزيع الذي يطابق هذا الوصف؟

تلميح: ابحث عن أربع كلمات/فكر: عدد محاولات ثابت، نجاح/فشل، p ثابت، استقلال.

السؤال 4 لدينا بيانات درجات حرارة يومية خلال أسبوع. هل درجة الحرارة متغير منقطع أم مستمر؟ وما نوع “الخريطة” الاحتمالية التي تتوقعها (نقاط منفصلة أم نطاقات مستمرة)؟

تلميح: درجة الحرارة تتغير تدريجيًا وتقبل قيماً كثيرة داخل فترة.

السؤال 5 سؤال قرار سريع: إذا كان المتغير “عدد الطلاب الذين ينجحون في اختبار” في فصل، هل هو منقطع أم مستمر؟ وهل يقترب من فكرة التوزيع الثنائي أم لا؟

تلميح: هل النجاح/الفشل يمثل نتيجتين لكل طالب؟ وهل نعدّ “عدد النجاحات”؟

مفتاح الإجابات (مختصر): 1) منقطع، ويبدأ التفكير بالتوزيع الثنائي إذا كانت كل قطعة “سليم/معيب” على محاولات مستقلة واحتمال المعيب ثابت. 2) مستمر، لأن الطول يمكن أن يأخذ قيمًا كثيرة ضمن نطاق. 3) منقطع، والتوزيع المناسب هو التوزيع الثنائي. 4) مستمر، وتتوقع نطاقات مستمرة بدل نقاط منفصلة. 5) منقطع، ويقترب من التوزيع الثنائي عندما يكون لكل طالب نتيجتان (نجاح/فشل) وشروط p والثبات والاستقلال معقولة.

---

كل ما سبق يضعك على الطريق الصحيح لاختيار التوزيع الاحتمالي قبل أن تفكر في اختبار الفرضيات. في الفصل التالي سنربط هذا الاختيار بمنطق “لغة الاحتمال” عند اتخاذ قرار: متى نستخدم فكرة التوقع والانحراف المعياري، وكيف نترجمها إلى اختبارات مثل اختبار Z أو اختبار T بحسب ما نعرفه عن تباين المجتمع.

End of chapter one. 4 more chapters in the full book.